基于扩散模型生成图片的算法DDPM于2020年被提出。2021年OpenAI发表的论文《Improved Denoising Diffusion Probabilistic Models》，对DDPM算法进行改进。

Improved DDPM

改进

噪声Schedule采用余弦函数

原始DDPM算法，使用公式$x_t=\sqrt{{\bar{\alpha }}_t}{x}_0+\sqrt{1-{\bar{\alpha }}_t}ϵ$计算第$t$步正向扩散后带噪声的图片$x_t$，公式中的${\bar{\alpha }}_t={\prod }_{i=1}^t{\alpha }_i$，${\beta }_t=1-{\alpha }_t$，即${\beta }_t=1-\frac{{\bar{\alpha }}_t}{{\bar{\alpha }}_{t-1}}$，${\beta }_t$表示每步噪声的大小，原始DDPM算法，令${\beta }_t$随$t$线性增长，从${\beta }_1=10^{-4}$增长到${\beta }_T=0.02$，改进的DDPM算法，令${\bar{\alpha }}_t$随$t$的变化采用余弦函数：

$$\begin{array}{rl}f(t)& =\cos {\left(\frac{t/T+s}{1+s}\cdot \frac{\pi }{2}\right)}^2\\ {\bar{\alpha }}_t& =\frac{f(t)}{f(0)}\\ {\beta }_t& =\text{clip}(1-\frac{{\bar{\alpha }}_t}{{\bar{\alpha }}_{t-1}},0.999)\end{array}$$

两种噪声Schedule下，${\bar{\alpha }}_t$随$t$的变化曲线如图1所示，相比线性函数，余弦函数的${\bar{\alpha }}_t$下降相对较平缓，因而${\beta }_t$相对较小，加噪相对较慢，不会过快地对原始图片加入过多的噪声。

Improved DDPM的代码开源，代码地址是：github.com/openai/impr…，其深度学习框架采用PyTorch。训练和采样分别执行以下脚本：

# 训练脚本
python scripts/image_train.py --data_dir path/to/images $MODEL_FLAGS $DIFFUSION_FLAGS $TRAIN_FLAGS

# 采样脚本
python scripts/image_sample.py --model_path /path/to/model.pt $MODEL_FLAGS $DIFFUSION_FLAGS

其中，MODEL_FLAGS、DIFFUSION_FLAGS、TRAIN_FLAGS分别表示模型结构（U-Net）、扩散过程和训练的配置，而基线模型（DDPM）的配置如下：

MODEL_FLAGS="--image_size 64 --num_channels 128 --num_res_blocks 3"
DIFFUSION_FLAGS="--diffusion_steps 4000 --noise_schedule linear"
TRAIN_FLAGS="--lr 1e-4 --batch_size 128"

如果采用余弦函数作为噪声Schedule，可以将DIFFUSION_FLAGS中的noise_schedule设置为cosine，而相应的计算噪声${\beta }_t$的代码在improved_diffusion/gaussian_diffusion.py中，如下：

def get_named_beta_schedule(schedule_name, num_diffusion_timesteps):
    """
    Get a pre-defined beta schedule for the given name.

    The beta schedule library consists of beta schedules which remain similar
    in the limit of num_diffusion_timesteps.
    Beta schedules may be added, but should not be removed or changed once
    they are committed to maintain backwards compatibility.
    """
    if schedule_name == "linear":
        # Linear schedule from Ho et al, extended to work for any number of
        # diffusion steps.
        scale = 1000 / num_diffusion_timesteps
        beta_start = scale * 0.0001
        beta_end = scale * 0.02
        return np.linspace(
            beta_start, beta_end, num_diffusion_timesteps, dtype=np.float64
        )
    elif schedule_name == "cosine":
        return betas_for_alpha_bar(
            num_diffusion_timesteps,
            lambda t: math.cos((t + 0.008) / 1.008 * math.pi / 2) ** 2,
        )
    else:
        raise NotImplementedError(f"unknown beta schedule: {schedule_name}")

# 入参alpha_bar即公式推导中的f(t) 
def betas_for_alpha_bar(num_diffusion_timesteps, alpha_bar, max_beta=0.999):
    """
    Create a beta schedule that discretizes the given alpha_t_bar function,
    which defines the cumulative product of (1-beta) over time from t = [0,1].

    :param num_diffusion_timesteps: the number of betas to produce.
    :param alpha_bar: a lambda that takes an argument t from 0 to 1 and
                      produces the cumulative product of (1-beta) up to that
                      part of the diffusion process.
    :param max_beta: the maximum beta to use; use values lower than 1 to
                     prevent singularities.
    """
    betas = []
    for i in range(num_diffusion_timesteps):
        t1 = i / num_diffusion_timesteps
        t2 = (i + 1) / num_diffusion_timesteps
        betas.append(min(1 - alpha_bar(t2) / alpha_bar(t1), max_beta))
    return np.array(betas)        

对方差进行学习

原始DDPM算法，满足高斯分布的概率密度函数$p_{\theta }(x_{t-1}|x_t)$中的方差${\Sigma }_{\theta }(x_t,t)$被固定为常量${\sigma }_t^2\mathbf{I}$，其中${\sigma }_t^2$直接取值${\beta }_t$。改进的DDPM算法通过模型对${\Sigma }_{\theta }(x_t,t)$也进行了学习，这样可以使用更少的步数、且生成更高质量的图片。

具体如何学习${\Sigma }_{\theta }(x_t,t)$呢？DDPM的论文已推导${\Sigma }_{\theta }(x_t,t)$的取值在${\beta }_t$和${\tilde{\beta }}_t$之间，而${\tilde{\beta }}_t:=\frac{1-{\bar{\alpha }}_{t-1}}{1-{\bar{\alpha }}_t}{\beta }_t$，图2表示了${\tilde{\beta }}_t/{\beta }_t$和$t$之间的关系，从中可见，除了$t=0$外，其他$t$取值下，${\beta }_t$和${\tilde{\beta }}_t$近似相等，所以原始DDPM算法将方差直接取值${\beta }_t$，而改进的DDPM算法设计了中间向量$v$，由模型预测$v$，并将${\Sigma }_{\theta }(x_t,t)$表示为：

$${\Sigma }_{\theta }(x_t,t)=\exp (v\log {\beta }_t+(1-v)\log {\tilde{\beta }}_t)$$

原始DDPM算法的损失函数为：

$$L_{\text{simple}}:=E_{t\sim [1,T],x_0\sim q(x_0),ϵ\sim \mathcal{N}(0,\mathbf{I})}[\parallel ϵ-{ϵ}_{\theta }(x_t,t){\parallel }^2]$$

其中并不包含${\Sigma }_{\theta }(x_t,t)$，因此改进的DDPM算法设计了新的损失函数为：

$$L_{\text{hybrid}}=L_{\text{simple}}+\lambda L_{\text{vlb}}$$

而$L_{\text{vlb}}$的定义如下：

$$\begin{array}{rl}{L}_{\text{vlb}}& :=L_0+L_1+\cdots +L_{T-1}+L_T\\ \text{where }{L}_0& :=-\log p_{\theta }(x_0|x_1)\\ L_{t-1}& :=D_{\text{KL}}(q(x_{t-1}|x_t,x_0)\parallel p_{\theta }(x_{t-1}|x_t))\text{ for }2\le t\le T\\ L_T& :=D_{\text{KL}}(q(x_T|x_0)\parallel p(x_T))\end{array}$$

损失函数中$\lambda$被设置为0.001，以减少$L_{\text{vlb}}$对$L_{\text{simple}}$的影响。另外梯度更新时，$L_{\text{vlb}}$部分不更新涉及${\mu }_{\theta }(x_t,t)$的参数，只更新涉及${\Sigma }_{\theta }(x_t,t)$的参数。
如果需要对方差进行学习，可以将训练脚本参数MODEL_FLAGS中的learn_sigma设置为True，这样，模型结构（U-Net）的输出维度增加，增加的部分作为$v$，相关代码在improved_diffusion/script_util.py的create_model方法中，如下：

    return UNetModel(
        in_channels=3,
        model_channels=num_channels,
        # 模型结构（U-Net）的输出维度增加，增加的部分作为v
        out_channels=(3 if not learn_sigma else 6),
        num_res_blocks=num_res_blocks,
        attention_resolutions=tuple(attention_ds),
        dropout=dropout,
        channel_mult=channel_mult,
        num_classes=(NUM_CLASSES if class_cond else None),
        use_checkpoint=use_checkpoint,
        num_heads=num_heads,
        num_heads_upsample=num_heads_upsample,
        use_scale_shift_norm=use_scale_shift_norm,
    )

同时，反向扩散生成图片时，由模型预测方差的代码在improved_diffusion/gaussian_diffusion.py的p_mean_variance方法中，如下：

        # 模型预测
        model_output = model(x, self._scale_timesteps(t), **model_kwargs)

        if self.model_var_type in [ModelVarType.LEARNED, ModelVarType.LEARNED_RANGE]:
            assert model_output.shape == (B, C * 2, *x.shape[2:])
            # 按列拆分模型输出，后半部分作为v
            model_output, model_var_values = th.split(model_output, C, dim=1)
            if self.model_var_type == ModelVarType.LEARNED:
                model_log_variance = model_var_values
                model_variance = th.exp(model_log_variance)
            else:
                # 按公式exp(v·log(β_t)+(1-v)·log(β_t))计算方差 
                min_log = _extract_into_tensor(
                    self.posterior_log_variance_clipped, t, x.shape
                )
                max_log = _extract_into_tensor(np.log(self.betas), t, x.shape)
                # The model_var_values is [-1, 1] for [min_var, max_var].
                frac = (model_var_values + 1) / 2
                model_log_variance = frac * max_log + (1 - frac) * min_log
                model_variance = th.exp(model_log_variance)

而代码如何调整损失函数的计算，在下一节介绍。

训练时采用Importance Sampling

论文进一步发现，将损失函数替换为$L_{\text{vlb}}$或$L_{\text{hybrid}}$后，损失函数取值随着训练迭代变化的曲线比较波动，不易收敛，如图3所示。$L_{\text{vlb}}$包含多项，每项对应一个步数$t$，且每项的取值量纲差别较大，如图4所示，而原始DDPM算法训练时随机采样步数$t$，因此论文认为每次训练迭代随机采样步数$t$、并进而计算量纲差别大的$L_t$导致$L_{\text{vlb}}$或$L_{\text{hybrid}}$的波动。论文通过训练时采用Importance Sampling来解决上述波动问题。Importance Sampling中，$L_{\text{vlb}}$可表示为以下公式：

$$L_{\text{vlb}}=E_{t\sim p_t}\left[\frac{L_t}{p_t}\right],\text{where }{p}_t\propto \sqrt{E\left[L_t^2\right]}\text{ and }\sum p_t=1$$

$E\left[L_t^2\right]$无法提前求解，且在训练过程中会变化，因此，论文对$L_{\text{vlb}}$的每一项$L_t$保留最新的10个取值，并在训练过程中动态更新。训练初期，仍是随机采样步数$t$，直至所有的$L_t$均有10个取值，再采用Importance Sampling。从图3可以看出，经过Importance Sampling后的$L_{\text{vlb}}$随着训练迭代变化的曲线比较平滑，且损失最小。
如果需要使用Importance Sampling后的$L_{\text{vlb}}$作为损失函数，可以将训练脚本参数DIFFUSION_FLAGS中的use_kl设置为True、TRAIN_FLAGS中的schedule_sampler设置为loss-second-moment。Importance Sampling的相关代码在improved_diffusion/resample.py的LossSecondMomentResampler类中，如下：

class LossSecondMomentResampler(LossAwareSampler):
    def __init__(self, diffusion, history_per_term=10, uniform_prob=0.001):
        self.diffusion = diffusion
        self.history_per_term = history_per_term
        self.uniform_prob = uniform_prob
        self._loss_history = np.zeros(
            [diffusion.num_timesteps, history_per_term], dtype=np.float64
        )
        self._loss_counts = np.zeros([diffusion.num_timesteps], dtype=np.int)

    def weights(self):
        # 训练初期，仍是随机采样步数
        if not self._warmed_up():
            return np.ones([self.diffusion.num_timesteps], dtype=np.float64)
        # 根据L_t的历史值计算p_t
        weights = np.sqrt(np.mean(self._loss_history ** 2, axis=-1))
        weights /= np.sum(weights)
        weights *= 1 - self.uniform_prob
        weights += self.uniform_prob / len(weights)
        return weights

    def update_with_all_losses(self, ts, losses):
        for t, loss in zip(ts, losses):
            if self._loss_counts[t] == self.history_per_term:
                # Shift out the oldest loss term.
                self._loss_history[t, :-1] = self._loss_history[t, 1:]
                self._loss_history[t, -1] = loss
            else:
                self._loss_history[t, self._loss_counts[t]] = loss
                self._loss_counts[t] += 1

    def _warmed_up(self):
        return (self._loss_counts == self.history_per_term).all()

使用$L_{\text{vlb}}$作为损失函数的相关代码在improved_diffusion/gaussian_diffusion.py的_vb_terms_bpd方法中，如下：

    def _vb_terms_bpd(
        self, model, x_start, x_t, t, clip_denoised=True, model_kwargs=None
    ):
        """
        Get a term for the variational lower-bound.

        The resulting units are bits (rather than nats, as one might expect).
        This allows for comparison to other papers.

        :return: a dict with the following keys:
                 - 'output': a shape [N] tensor of NLLs or KLs.
                 - 'pred_xstart': the x_0 predictions.
        """
        true_mean, _, true_log_variance_clipped = self.q_posterior_mean_variance(
            x_start=x_start, x_t=x_t, t=t
        )
        out = self.p_mean_variance(
            model, x_t, t, clip_denoised=clip_denoised, model_kwargs=model_kwargs
        )
        kl = normal_kl(
            true_mean, true_log_variance_clipped, out["mean"], out["log_variance"]
        )
        kl = mean_flat(kl) / np.log(2.0)

        decoder_nll = -discretized_gaussian_log_likelihood(
            x_start, means=out["mean"], log_scales=0.5 * out["log_variance"]
        )
        assert decoder_nll.shape == x_start.shape
        decoder_nll = mean_flat(decoder_nll) / np.log(2.0)

        # At the first timestep return the decoder NLL,
        # otherwise return KL(q(x_{t-1}|x_t,x_0) || p(x_{t-1}|x_t))
        output = th.where((t == 0), decoder_nll, kl)
        return {"output": output, "pred_xstart": out["pred_xstart"]}

效果

针对上述改进，论文在ImageNet 64×64和CIFAR-10这两个数据集上分别进行消融实验以验证各改进的有效性，如图5和图6所示。

其中，有效性指标使用了NLL和FID。NLL（Negative Log Likelihood）等价于损失函数$L_{\text{vlb}}$，NLL越小，说明生成图像与真实图像的分布越接近。FID（Fréchet Inception Distance）是另一种用于图像生成质量评估的指标，它可以评估生成图像与真实图像之间的相似度。FID指标的计算方法是使用Inception-v3模型对生成图像和真实图像进行特征提取，并计算两个特征分布之间的Fréchet距离。FID越小，说明生成图像与真实图像越相似。从实验结果上看，噪声Schedule采用余弦函数、对方差进行学习并且训练时损失函数采用Importance Sampling后的$L_{\text{vlb}}$，NLL最低，但FID较高，而噪声Schedule采用余弦函数、对方差进行学习并且训练时损失函数采用$L_{\text{hybrid}}$，在NLL、FID上都能取得较小的值。

另外，论文还和其他基于似然预估的模型进行了对比实验，如图7所示。优化后的DDPM虽然在NLL和FID上还不是SOTA，但相对也是较优的效果，仅次于基于Transformer的网络结构。

加速

DDPM在生成图片时需要从完全噪声开始执行多步降噪操作，而每步操作均需要将当前步带噪声的图片作为输入由模型预测噪声，导致生成图片需要较多的步骤和计算量。论文也采用了《Denoising Diffusion Implicit Models》提出的采样方法——DDIM，减少步数。

参考文献

• 《Improved Denoising Diffusion Probabilistic Models》
• 《Denoising Diffusion Implicit Models》