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二次型及其标准型 – 了解配方法和正/负定二次型

释放双眼,带上耳机,听听看~!
本文介绍了二次型及其标准型,配方法和正/负定二次型的概念和定义,并讨论了二次型的标准化操作。阅读本文,了解更多关于二次型的知识。

文章内容

  • 二次型及其标准型
  • 配方法
  • 正/负定二次型

二次型及其标准型

什么是二次型和其标准型

定义:数域K上的一个n元二次型是系数在K中的n个变量的二次齐次多项式

一般形式:f(x1,x2,⋯ ,xn)=(a11x12+2a12x1x2+2a13x1x3+⋯+2a1nx1xn)+(a22x12+2a23x2x3+⋯+2a2nx2xn)+⋯+annxn2f(x_1,x_2,cdots,x_n)=(a_{11}x_1^2+2a_{12}x_1x_2+2a_{13}x_1x_3+cdots+2a_{1n}x_1x_n)+(a_{22}x_1^2+2a_{23}x_2x_3+cdots+2a_{2n}x_2x_n)+cdots+a_{nn}x_n^2

观察易得,这个式子里面未知数仅由 xi2x_i^2xixjx_ix_j 组成

对于一个二次型 ax2+bxy+cy2=1ax^2+bxy+cy^2=1,这个式子的几何意义是一个歪了的椭圆或者双曲线或者其它图形,例如一个椭圆,我们的目的是将这个椭圆的中心点回到坐标原点,让轴水平和竖直,也就是进行一个变换操作,将椭圆标准化,准确地说就是将原来的方程变换为标准方程,对应的标准方程就是这个二次型的标准型

ax2+bxy+cy2=1→mx′2+ny′2=1ax^2+bxy+cy^2=1 rightarrow mx’^2+ny’^2=1

  • 椭圆标准方程:x2a2+y2b2=1(a>b>0)frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1 quad (a>b>0)
  • 双曲线标准方程:x2a2−y2b2=1(a>b>0)frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2}=1 quad (a>b>0)

对于上边二次型的一般形式,可以用矩阵的形式来表达:

f(x1,x2,⋯ ,xn)=[x1x2⋯xn][a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋮an1an2⋯ann][x1x2⋯xn]f(x_1,x_2,cdots,x_n)=begin{bmatrix} x_1 & x_2 & cdots & x_n end{bmatrix}begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} & cdots & a_{2n} \ vdots & vdots & & vdots \ a_{n1} & a_{n2} & cdots & a_{nn} \ end{bmatrix} begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \ cdots \ x_n end{bmatrix}

x=[x1x2⋯xn]T,A=[a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋮an1an2⋯ann]x= begin{bmatrix} x_1 & x_2 & cdots & x_n end{bmatrix}^T,A=begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} & cdots & a_{2n} \ vdots & vdots & & vdots \ a_{n1} & a_{n2} & cdots & a_{nn} \ end{bmatrix},则 f=xTAxf=x^TAx,其中 AA 是对称矩阵,这里被称为二次型的矩阵

  • 任意一个二次型和它的实对称矩阵是一一对应的
  • 实对称矩阵 AA 的秩就是二次型 ff 的秩

当把一个二次型写成矩阵表达式时,矩阵 AA 一定是一个对称矩阵;但当把一个矩阵表达式写成二次型时,即使矩阵 AA 不是对称矩阵,展开后仍然是一个二次型。

原因:自己展开尝试一下就理解了,二次型中每个含两个未知数的积的系数都是aa的2倍,因此相应对称矩阵 AA 中的对应值就是 aa,当将矩阵表达式转换为二次型时,是在对应位置的参数相加,而当二次型转换为矩阵表达式时,则是对当前系数除以二作为相应矩阵的对应值。

:写出二次型 f(x,y,z)=x2−3z2−4xy+yzf(x,y,z)=x^2-3z^2-4xy+yz 的实对称矩阵以及矩阵表达式

矩阵表达式:f(x,y,z)=[xyz][1−20−201201232][xyz]f(x,y,z)=begin{bmatrix}x & y & z end{bmatrix} begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 \ -2 & 0 & frac{1}{2} \ 0 & frac{1}{2} & frac{3}{2} end{bmatrix} begin{bmatrix}x \ y \ z end{bmatrix}

对于这里的实对称矩阵 AA 中对应系数的位置,可以想象成这样一个表格:

x y z
x x2x^2的系数 xyxy的系数 xzxz的系数
y xyxy的系数 y2y^2的系数 yzyz的系数
z xzxz的系数 yzyz的系数 z2z^2的系数

根据二次型中 x2,y2,z2x^2,y^2,z^2 的系数和 xy,xz,yzxy, xz, yz 的系数来写矩阵即可

合同变换

例如一个二次型的矩阵表达式:
f=[x1x2x3][c11c12c13c21c22c23c31c32c33][x1x2x3]f=begin{bmatrix} x_1 & x_2 & x_3 end{bmatrix}begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} & c_{13} \ c_{21} & c_{22} & c_{23} \ c_{31} & c_{32} & c_{33} \ end{bmatrix} begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 end{bmatrix}

我们对其中的三个元素 x1,x2,x3x_1, x_2, x_3 做线性变换,即:
[x1x2x3]=[c11c12c13c21c22c23c31c32c33][y1y2y3]begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 end{bmatrix} = begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} & c_{13} \ c_{21} & c_{22} & c_{23} \ c_{31} & c_{32} & c_{33} \ end{bmatrix}begin{bmatrix} y_1 \ y_2 \ y_3 end{bmatrix}

则有:f(x)=xTAx=(Cy)TA(Cy)=yTCTACy=yT(CTAC)y=yTByf(x)=x^TAx=(Cy)^TA(Cy)=y^TC^TACy=y^T(C^TAC)y=y^TBy,这里 B=CTACB=C^TAC

A,BA,Bnn 阶矩阵,如果存在可逆矩阵 CC,使得 B=CTACB=C^TAC,则称 AABB 合同,记作 . ,这种对 AA 的运算被称为合同变换

注意这里不要与相似变换混淆的概念,相似变换是 B=P−1APB=P^{-1}AP,相似变换是在不同基的同一矩阵进行变换,而合同变换则表示二次型到标准型的变换

将二次型转换为标准型

要想将其化为标准型,我们需要将所有的xixjx_ix_j的系数变为0,不难想到,当矩阵 AA 除正对角线以外的元素都为0时,所有 xixjx_ix_j 的系数也就为0了。

对于合同变换,可以看到,矩阵 BB 与矩阵 CC 和矩阵 AA 相关,而向量 yy 与向量 xx 和矩阵 CC 相关,我们不关心向量y是什么样的,在新的式子中,我们要通过矩阵 CC 将矩阵 AA 的除正对角线以外的所有元素都变换为0,得到这样一个矩阵 BB,最后也就得到了二次型对应的标准型。

定理:对于任一个 n 元二次型 f(x)=xTAxf(x)=x^TAx,存在正交变换 x=Qyx=Qy (QQ 为 n 阶正交矩阵),使得 xTAx=yT(QTAQ)y=λ1y12+λ2y22+⋯+λnyn2x^TAx=y^T(Q^TAQ)y=lambda_1 y_1^2+lambda_2y_2^2+cdots+lambda_ny_n^2。其中 λ1,λ2,⋯ ,λnlambda_1,lambda_2,cdots,lambda_n 是实对称矩阵 AA 的 n 个特征值,QQ 的 n 个列向量 α1,α2,⋯ ,αnalpha_1, alpha_2, cdots, alpha_nAA 对应于特征值 λ1,λ2,⋯ ,λnlambda_1, lambda_2, cdots, lambda_n 的标准正交特征向量.

  • 任一实对称矩阵都与一个对角阵合同
  • 用正交变换化二次型为标准型,具有保持几何形状不变的优点

这里的 xx 是二次型中的未知数,yy 是该二次型对应的标准型中的未知数

在对称矩阵的相似对角化中讲过,任何一个对称矩阵,都可以通过一个正交变换变为一个对角阵,这是实对称矩阵的特点。即:nn 阶实对称矩阵 AA 必可相似对角化,且总存在正交矩阵 QQ,使得 QTAQ=diag(λ1,λ2,⋯ ,λn)Q^TAQ=diag(λ1,λ2,⋯ ,λn),其中 λ1,λ2,⋯ ,λnλ1,λ2,⋯ ,λnλ1,λ2,⋯ ,λnlambda_1,lambda_2,cdots,lambda_n 是矩阵 AA 的特征值.

即:Q−1AQ=QTAQ=Λ=[λ1λ2⋯λn]Q^{-1}AQ=Q^TAQ=Lambda=begin{bmatrix} lambda_1 & & \ & lambda_2 & & \ & & cdots & \ & & & lambda_n end{bmatrix}

当我们通过 B=QTAQ=ΛB=Q^TAQ=Lambda,即矩阵 BB 变为一个对角阵,对角阵中除正对角线以外其它位置的值都为0,最后 yTByy^TBy当然只剩下平方项了。

正交矩阵中每一个向量都满足和其本身内积为1,和其它向量内积为0,且正交矩阵的转置和其逆矩阵相同。

从中也可以看出,这里这个合同变换的方法本质上就是相似变换,不过这里的相似变换是由正交变换构成的。

参考相似对角化的概念,这里就是矩阵 AA 和一个对角阵 ΛLambda 相似,性质当然也相同:

  • 对角阵 ΛLambda 的值是矩阵 AA 的特征值
  • 矩阵 QQ 中的列向量为矩阵 AA 的特征向量

同时,在这里因为矩阵 QQ 是正交矩阵,因此矩阵 AA 中的特征向量相互正交,即其中的每一个向量都满足和其本身内积为1,和其它向量内积为0。

此外,由于对角阵中的元素为矩阵 AA 对应的特征值,因此对于一个二次型对应的标准型,该标准型中未知数的系数就是矩阵 AA 对应的特征值。

二次型变换为标准型的本质

先联想一下相似变换的本质,相似变换就是从一个基到另一个基,但原本图形形状不做改变的过程,仅仅是同一图形在不同基下的表达形式而已。因此,对于二次型标准化的本质也就清楚了,所谓二次型标准化,本质上就是基的改变,通过定义一个新的基,使得原图形在新的基下是标准形式,然后再通过相似变换将原图形映射过去即可。

二次型及其标准型 - 了解配方法和正/负定二次型

我们之前讲过线性空间中的基是什么,参考上图,这里再通俗点讲,就是构建了一个新的坐标系,使得图形在新的坐标系下的方程是标准方程。

规范型:在标准型中,若平方项的系数为1或-1或0,则称其为二次型的规范型。

:某二次型的标准型为 8y12+12y22−9y32=18y_1^2+frac{1}{2}y_2^2-9y_3^2=1

则有:(22y1)2+(12y2)2−(3y3)2=z12+z22+z32=1(2sqrt 2y_1)^2+(frac{1}{sqrt 2}y_2)^2-(3y_3)^2=z_1^2+z_2^2+z_3^2=1

z12+z22+z32=1z_1^2+z_2^2+z_3^2=1 这种形式就是规范型,但注意它对于原来的图形在形状上已经伸缩变换了。

:求一个正交变换 x=Pyx=Py,把二次型 f=−2x1x2+2x1x3+2x2x3f=-2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3 化为标准型

想将二次型化为标准型,其实就是求我们上述所讲的矩阵 PP 和矩阵 ΛLambda,由于矩阵 PP 中的列向量就是矩阵 AA 的特征向量,而矩阵 ΛLambda 中的值则为矩阵 AA 的特征值,因此我们首先要求出来矩阵 AA 的特征向量和特征值。

易得该二次型对应的矩阵表达式为:

f(x)=[x1x2x3][0−11−101110][x1x2x3]f(x)=begin{bmatrix} x_1 & x_2 & x_3 end{bmatrix} begin{bmatrix} 0 & -1 & 1 \ -1 & 0 & 1 \ 1 & 1 & 0 end{bmatrix} begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 end{bmatrix}

要想化为标准型,我们首先要找到矩阵 AA 对应的对角阵 ΛLambda,也就是也行哦爱你找到矩阵 AA 对应的特征值。

(A−λE)x=0(A-lambda E)x=0,由 (A−λE)=0(A-lambda E)=0 得有:

∣A−λE∣=∣−λ−11−1−λ111−λ∣∼∣−1−λ−1101−λ021−λ∣=(1−λ)(−1)2+2∣−1−λ12−λ∣=(1−λ)(λ+2)(λ−1)begin{align}
|A-lambda E|
&= begin{vmatrix} -lambda & -1 & 1 \ -1 & -lambda & 1 \ 1 & 1 & -lambda end{vmatrix} \
&sim begin{vmatrix} -1-lambda & -1 & 1 \ 0 & 1-lambda & 0 \ 2 & 1 & -lambda end{vmatrix} \
&= (1-lambda)(-1)^{2+2}begin{vmatrix} -1-lambda & 1 \ 2 & -lambda end{vmatrix} \
&=(1-lambda)(lambda+2)(lambda-1)
end{align}

即:{λ1=−2λ2=λ3=1begin{cases} lambda_1=-2 \ lambda_2=lambda_3=1 end{cases}

λ1=−2lambda_1=-2 时,A−λ1E=[2−11−121112]∼[101011000]A-lambda_1 E=begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 \ -1 & 2 & 1 \ 1 & 1 & 2 end{bmatrix} sim begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \ 0 & 1 & 1 \ 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

新的齐次方程组为:{x1+x3=0x2+x3=0begin{cases} x_1 + x_3 = 0 \ x_2 + x_3 =0 end{cases}

自由变量个数为 n−R(A−λE)=1n-R(A-lambda E)=1,主元为x1,x2x_1, x_2,自由变量为 x3x_3

易得基础解系:[x1x21]begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \ 1 end{bmatrix}

代入易得,特征向量 ξ1=[−1−11]xi_1=begin{bmatrix} -1 \ -1 \ 1 end{bmatrix}

对于一般做法,我们这是会同理得 特征向量 ξ2=[−110],ξ3=[101]xi_2=begin{bmatrix} -1 \ 1 \ 0 end{bmatrix}, xi_3 = begin{bmatrix} 1 \ 0 \ 1 end{bmatrix},同时观察到 ξ1xi_1ξ2xi_2 正交,但是由于这里的特征向量是正交矩阵中的列向量,因此特征向量 ξ1,ξ2,ξ3xi_1,xi_2,xi_3 之间两两正交,而这时如果我们这样求出来 ξ2xi_2ξ3xi_3 的话,紧接着要使用施密特正交法进行处理,增大了计算量,因此当我们求出 ξ1xi_1ξ2xi_2 时,参考正交矩阵两两正交的性质来求出特征向量 ξ3xi_3,而不使用一般的方法建立基础解系来求 ξ3xi_3

同理得特征向量 ξ2=[−110]xi_2=begin{bmatrix} -1 \ 1 \ 0 end{bmatrix}

由于 ξ1,ξ2,ξ3xi_1, xi_2, xi_3 之间两两正交,则易得 ξ3=[112]xi_3=begin{bmatrix} 1 \ 1 \ 2 end{bmatrix}

将特征向量单位化后得:p1=13[112],p2=12[112],p3=16[112]p_1=frac{1}{sqrt 3}begin{bmatrix} 1 \ 1 \ 2 end{bmatrix}, p_2=frac{1}{sqrt 2}begin{bmatrix} 1 \ 1 \ 2 end{bmatrix}, p_3=frac{1}{6}begin{bmatrix} 1 \ 1 \ 2 end{bmatrix}

则正交矩阵 P=[p1p2p3]P=begin{bmatrix} p_1 & p_2 & p_3 end{bmatrix}

易得该二次型对应的标准型:f(y)=−2y12+y22+y32f(y)=-2y_1^2+y_2^2+y_3^2

总结:这里二次型转标准型的计算过程基本和前一章节的求法相同,主要是求特征值和特征向量,这两个求出来,结果自然也就出来了。

:求椭圆 x2+4xy+5y2=1x^2+4xy+5y^2=1 的面积

二次型转换为其标准型,图形形状不变,则图形对应面积也不变,因此我们可以先将不标准的椭圆标准化得到其标准型,然后再求面积即可。

易得该二次型的矩阵表达式:f(x,y)=[xy][1225][xy]f(x,y)=begin{bmatrix} x & y end{bmatrix}begin{bmatrix} 1 & 2 \ 2 & 5 end{bmatrix}begin{bmatrix} x \ yend{bmatrix},其中 A=[1225]A=begin{bmatrix} 1 & 2 \ 2 & 5 end{bmatrix}

(A−λE)x=0(A-lambda E)x=0∣A−λE∣=∣1−λ225−λ∣=λ2−6λ+1=0|A-lambda E| = begin{vmatrix} 1-lambda & 2 \ 2 & 5-lambda end{vmatrix} = lambda^2-6lambda+1=0

求根公式得 {λ1=6+422λ2=6−422begin{cases} lambda_1 = frac{6+4sqrt 2}{2} \ lambda_2 = frac{6-4sqrt 2}{2} end{cases}

求根公式 (初中数学):x=−b±b2−4ac2ax = frac{-b pm sqrt {b^2-4ac}}{2a}

特征值较复杂,对应的特征向量应该也比较复杂,因此这里紧接着先不算特征向量,因为对于这道题我们并没有必要去求正交矩阵。

假设特征向量为 ξ1,ξ2xi_1, xi_2

则矩阵 Q=[ξ1ξ2]Q=begin{bmatrix} xi_1 & xi_2 end{bmatrix}Λ=QTAQ=[λ100λ2]Lambda=Q^TAQ=begin{bmatrix} lambda_1 & 0 \ 0 & lambda_2 end{bmatrix}

设标准型下 x,yx,y 对应的两个未知数分别为 u,vu,v

则有 [xy]=Q[uv]begin{bmatrix} x \ y end{bmatrix} = Qbegin{bmatrix} u \ v end{bmatrix},则原式 f=λ1u2+λ2v2=1f=lambda_1 u^2+ lambda_2 v^2=1

整理得:u2(1λ1)2+v2(1λ2)2=1frac{u^2}{(sqrt{frac{1}{lambda_1}})^2}+frac{v^2}{(sqrt{frac{1}{lambda_2}})^2}=1

这里就是椭圆的标准公式:x2a2+y2b2=1frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1

a=1λ1,b=1λ2a=sqrt{frac{1}{lambda_1}},b=sqrt{frac{1}{lambda_2}}

由椭圆面积公式得:S=πab=πλ1λ2=π1=πS=pi ab=frac{pi}{sqrt{lambda_1 lambda_2}}=frac {pi}{1}=pi

正交变换具有保形性,变化前后图形形状不会发生改变

配方法

配方法很简单,共分为两种情况,这里直接通过举例来进行说明。

  1. 二次型中存在平方项则直接使用最简单粗暴的方法凑平方
  2. 二次型中不存在平方项我们先变换一次得到第一种情况,再使用相同的方法凑平方

简而言之,无论哪种情况,我们的目的都是凑平方,消去非平方项,再将平方项从 xx 映射到 yy 即可。

配方法的第一种使用情况

三个主要步骤:

  1. 式子配方成平方相加减的形式
  2. 写过渡矩阵,并验证该过渡矩阵行列式不为0 (矩阵可逆)
  3. 根据要求算出指定结果

:化二次型 f=x12+2×22+5×32+2x1x2+2x1x3+6x2x3f=x_1^2+2x_2^2+5x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+6x_2x_3 成标准型,并求出所使用的变换矩阵。

f=x12+2×22+5×32+2x1x2+2x1x3+6x2x3=(x1+x2+x3)2+x22+4×32+4x2x3=(x1+x2+x3)2+(x2+2×3)2begin{align}
f&=x_1^2+2x_2^2+5x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+6x_2x_3 \
&= (x_1 + x_2 + x_3)^2 +x_2^2+4x_3^2+4x_2x_3 \
&= (x_1 + x_2 + x_3)^2 + (x_2 + 2x_3)^2
end{align}

到这里,已经求出来该二次型对应的标准型了,即:f=y12+y22f=y_1^2+y_2^2,接下来求变换矩阵。

{y1=x1+x2+x3y2=x2+2x3y3=x3begin{cases} y_1 = x_1+x_2+x_3 \ y_2=x_2+2x_3 \ y_3=x_3 end{cases},则有 {x1=y1−y2+y3x2=y2−2y3x3=y3begin{cases} x_1=y_1-y_2+y_3 \ x_2=y_2-2y_3 \ x_3=y_3 end{cases}

注意这里尽管没有第三个项,y3y_3 也不能为0,我们把式子配方成平方相加减的形式就是为了去掉所有的非平方项,剩下的这些平方项就是我们前面所说的 xx 对应的标准型下的变量 yy,二次型中 xx 有三个,那 yy 也有三个,因此不能置为0,关于 yy 的值,一般指定为对应的 xx 的值,这样比较有利于计算。

x=Qyx=Qy 得,即 [x1x2x3]=[y1−y2+y3y2−2y3y3]=[q11q12q13q21q22q23q31q32q33][y1y2y3]begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 end{bmatrix} = begin{bmatrix} y_1-y_2+y_3 \ y_2-2y_3 \ y_3 end{bmatrix} = begin{bmatrix} q_{11} & q_{12} & q_{13} \ q_{21} & q_{22} & q_{23} \ q_{31} & q_{32} & q_{33} end{bmatrix} begin{bmatrix} y_1 \ y_2 \ y_3 end{bmatrix}

易得变换矩阵 Q=[1−1101−2001]Q=begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \ 0 & 1 & -2 \ 0 & 0 & 1 end{bmatrix},且 ∣Q∣≠0|Q| neq 0

ps:上下三角形矩阵一定可逆,因为对应行列式展开之后只有一种符号(全+或全-)

综上所述,对应标准型:f=y12+y22f=y_1^2+y_2^2,变换矩阵:Q=[1−1101−2001]Q=begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \ 0 & 1 & -2 \ 0 & 0 & 1 end{bmatrix}

配方法的第二种使用情况

:化二次型 f=2x1x2+2x1x3−6x2x3f=2x_1x_2+2x_1x_3-6x_2x_3 成规范型,并求出所使用的的变换矩阵。

思路:二次型中没有平方项,我们可以用平方差产生平方项

{x1=y1+y2x2=y1−y2x3=y3begin{cases} x_1=y_1+y_2 \ x_2=y_1-y_2 \ x_3=y_3 end{cases}

这里设置什么样的映射都可以,但需要保证使得计算简便,求出的过渡矩阵可逆。

则由 [x1x2x3]=C1[y1y2y3]begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 end{bmatrix} = C_1begin{bmatrix} y_1 \ y_2 \ y_3 end{bmatrix} 易得,C1=[1101−10001]C_1 = begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \ 1 & -1 & 0 \ 0 & 0 & 1 end{bmatrix}∣C1∣≠0|C_1| neq 0

则有:

f=2x1x2+2x1x3−6x2x3=2(y1+y2)(y1−y2)+2(y1+y2)y3−6(y1−y2)y3=2y12−2y22+2y1y3+2y2y3−6y1y3+6y2y3=2(y1−y3)2−(2y32+2y22−8y2y3)=2(y1−y3)2−2(y2−2y3)2+6y32=[2(y1−y3)]2−[2(y2−2y3)]2+[6y3]2begin{align}
f &= 2x_1x_2+2x_1x_3-6x_2x_3 \
&=2(y_1+y_2)(y_1-y_2)+2(y_1+y_2)y_3-6(y_1-y_2)y_3 \
&= 2y_1^2-2y_2^2+2y_1y_3+2y_2y_3-6y_1y_3+6y_2y_3 \
&= 2(y_1-y_3)^2-(2y_3^2+2y_2^2-8y_2y_3) \
&= 2(y_1-y_3)^2-2(y_2-2y_3)^2+6y_3^2 \
&= [sqrt 2(y_1-y_3)]^2-[sqrt 2(y_2-2y_3)]^2+ [sqrt 6y_3]^2
end{align}

这里因为要求的不是标准型,而是标准型对应的规范型,因此将每项的系数都变换为1、-1、0的形式。

{z1=2(y1−y3)z2=2(y2−2y3)z3=6y3begin{cases} z_1=sqrt 2(y_1-y_3) \ z_2=sqrt 2(y_2-2y_3) \ z_3=sqrt 6 y_3 end{cases},则有:{y1=12z1+16z3y2=12z2+26z3y3=16z3begin{cases} y_1= frac {1}{sqrt 2}z_1+frac{1}{sqrt 6}z_3\ y_2=frac{1}{sqrt 2}z_2 + frac{2}{sqrt 6}z_3 \ y_3=frac{1}{sqrt 6}z_3 end{cases}

[y1y2y3]=C2[z1z2z3]begin{bmatrix} y_1 \ y_2 \ y_3 end{bmatrix} = C_2begin{bmatrix} z_1 \ z_2 \ z_3 end{bmatrix} 易得,C2=[12016012260016]C_2 = begin{bmatrix} frac{1}{sqrt 2} & 0 & frac{1}{sqrt 6} \ 0 & frac{1}{sqrt 2} & frac{2}{sqrt 6} \ 0 & 0 & frac{1}{sqrt 6} end{bmatrix}∣C2∣≠0|C_2| neq 0

x=C1y,y=C2zx=C_1y, y=C_2z 得,x=C1C2zx=C_1C_2z

C=C1C2=[1101−10001][12016012260016]=[12123612−12−160016]C=C_1C_2=begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \ 1 & -1 & 0 \ 0 & 0 & 1 end{bmatrix}begin{bmatrix} frac{1}{sqrt 2} & 0 & frac{1}{sqrt 6} \ 0 & frac{1}{sqrt 2} & frac{2}{sqrt 6} \ 0 & 0 & frac{1}{sqrt 6} end{bmatrix}=begin{bmatrix} frac{1}{sqrt 2} & frac{1}{sqrt 2} & frac{3}{sqrt 6} \ frac{1}{sqrt 2} & frac{-1}{sqrt 2} & frac{-1}{sqrt 6} \ 0 & 0 & frac{1}{sqrt 6}end{bmatrix}∣C∣≠0|C| neq 0

综上所述,对应的标准型为 f=z12−z22+z32f=z_1^2-z_2^2+z_3^2,变换矩阵为 [12123612−12−160016]begin{bmatrix} frac{1}{sqrt 2} & frac{1}{sqrt 2} & frac{3}{sqrt 6} \ frac{1}{sqrt 2} & frac{-1}{sqrt 2} & frac{-1}{sqrt 6} \ 0 & 0 & frac{1}{sqrt 6}end{bmatrix}

总结

配方法相对更加简单,但配方法不具有保形性,也就是使用配方法进行变换后原图形可能伸缩或拉伸,如果要求求图形面积,就不能用配方法了,只能用正交变换的方法。

正/负 定二次型

惯性定理

定理 (惯性定理):二次型的标准型显然不是唯一的,只是标准型中所含项数 (二次型的秩) 是确定的,不仅如此,在限定变换为实变换时,标准型中正系数或负系数的个数是不变的,也就是有:

  • 设二次型 f=xTAxf=x^TAx 的秩为 rr,且有两个可逆变换 x=Cyx=Cyx=Pzx=Pz
  • 使:f=k1y12+k2y22+⋯+kryr2(ki≠0)f=k_1y_1^2+k_2y_2^2+cdots+k_ry_r^2 quad (k_i neq 0)
  • 及:f=λ1z12+λ2z22+⋯+λrzr2(λi≠0)f=lambda_1z_1^2+lambda_2z_2^2+cdots+lambda_rz_r^2 quad (lambda_i neq 0)
  • 则:k1,k2,⋯ ,krk_1,k_2,cdots,k_r 中正数的个数与 λ1,λ2,⋯ ,λrlambda_1,lambda_2,cdots,lambda_r 中正数的个数相等

二次型及其标准型 - 了解配方法和正/负定二次型

以一个三个未知数的二次型为例,令 f(x,y,z)=1f(x,y,z)=1,表示空间上的一个曲面,将该二次型化为标准型后有三种情况,当三个系数都为正数的话表示一个椭球;若三个系数中一负两正,则表示一个单叶双曲面;若三个系数中一正两负,则表示一个双叶双曲面。

二次型中所做的各种可逆变换的本质是将这个曲面进行平移、旋转、缩放等

图形位置变换的本质:这里所说将这个曲面(图形)进行移动并不标准,因为本质上是相似变换,也就是基在变换,但达到的效果和曲面(图形)进行移动是相同的。

图形被伸缩或拉伸的本质:新的基与原来的基相比某些方向的单位向量大小不同。

也就是说图形本身没有变化,但衡量它的标准变化了,因此在新的标准下它看起来位置变换了或者伸缩拉伸了,而新旧标准(基)对于我们来说只是换了套坐标系。

二次型化为标准型中使用正交变换的话图形是不变的,但使用其它方法形状可能会发生一定的改变,如伸缩、拉伸等,但是无论这个图形怎样伸缩,例如单叶双曲面再怎么伸缩也是单叶双曲面,不可能通过伸缩或拉伸变成一个椭球,而它的形状又是由二次型中的系数的正负来决定的,因此变换前后正系数和负系数的个数不变。

为什么被称为惯性定理:类似于惯性中物体拥有保持当前运动状态的性质,图形也拥有保持当前形状不变的特性,因此被称为惯性定理。

正惯性指数和负惯性指数

二次型的标准型中正系数的个数称为二次型的正惯性指数;负系数的个数称为福惯性指数。若二次型 ff 的正惯性指数为 pp,秩为 rr,则 ff 的规范型便可确定为:f=y12+⋯+yp2−yp+12−⋯−yr2f=y_1^2+cdots+y_p^2-y_{p+1}^2-cdots-y_r^2

正惯性指数为 pp,二次型的秩为 rr,则负惯性指数就为 r−pr-p

正/负定判断条件

定义:若二次型 f=xTAxf=x^TAx 对任何 x≠0xneq 0 都有 f>0f>0,则称 ff 为正定二次型,正定二次型的矩阵 AA 为正定矩阵。例如 f=x12+2×22+5×32+8×42+6x52f=x_1^2+2x_2^2+5x_3^2+8x_4^2+6x_5^2 就是一个正定二次型。

  • AA 正定,则 AA 一定可逆,A−1A^{-1}A∗A^* 也一定正定

AA 为正定矩阵,则 AA 为对角阵且 λ1,λ2,⋯ ,λnlambda_1, lambda_2, cdots, lambda_n 全都大于0,由于 ∣A∣=λ1λ2⋯λn|A|=lambda_1 lambda_2cdotslambda_n,则 ∣A∣≠0|A| neq 0,因此矩阵 AA 一定可逆。

AA 的特征值为 λ1,λ2,⋯ ,λnlambda_1, lambda_2, cdots, lambda_n,则 A−1A^{-1} 的特征值为 1λ1,1λ2,⋯ ,1λnfrac{1}{lambda_1}, frac{1}{lambda_2}, cdots, frac{1}{lambda_n},因此当然 A−1A^{-1} 也正定。

Ax=λxAx=lambda x 两边同乘 A−1A^{-1} 易得 A−1x=1λxA^{-1}x=frac{1}{lambda}x,则 A∗∣A∣x=1λxfrac{A^*}{|A|}x=frac{1}{lambda}x,整理得 A∗x=∣A∣λxA^*x=frac{|A|}{lambda}x。可见若AA 的特征值为 λ1,λ2,⋯ ,λnlambda_1, lambda_2, cdots, lambda_n,则A∗A^* 的特征值为 ∣A∣λ1,∣A∣λ2,⋯ ,∣A∣λnfrac{|A|}{lambda_1}, frac{|A|}{lambda_2}, cdots, frac{|A|}{lambda_n},已知 ∣A∣>0|A| > 0,因此 A∗A^* 肯定也正定。

正定二次型判别法 (三个充要条件)

  1. ff 的标准型的 nn 个系数全为正
  2. ff 的正惯性指数为 nn (ff 的秩等于其正惯性指数)
  3. ff 的矩阵 AA 的特征值全大于0

这三个条件其实都是等价的,不同说法而已

定义:若二次型 f=xTAxf=x^TAx 对任何 x≠0xneq 0 都有 f<0f<0,则称 ff 为负定二次型,负定二次型的矩阵 AA 为负定矩阵。例如 f=−x12−2×22−5×32−8×42−6x52f=-x_1^2-2x_2^2-5x_3^2-8x_4^2-6x_5^2 就是一个负定二次型

负定二次型判别法 (三个充要条件)

  1. ff 的标准型的 nn 个系数全为负
  2. ff 的负惯性指数为 nn (ff 的秩等于其负惯性指数)
  3. ff 的矩阵 AA 的特征值全小于0

对于负定二次型,和正定二次型的概念基本相同,不过相反而已,就不再过多解释了。

赫尔维茨定理

定理 (赫尔维茨定理):对称矩阵 AA 为正定的充分必要条件是:AA 的各阶主子式都为正,即 a11>0,[a11a12a21a22]>0,⋯ ,[a11⋯a1n⋮⋮an1⋯ann]>0a_{11}>0,begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \ a_{21} & a_{22} end{bmatrix} >0,cdots, begin{bmatrix} a_{11} & cdots & a_{1n} \ vdots & & vdots \ a_{n1}& cdots & a_{nn} end{bmatrix} > 0

对称矩阵 AA 为负定的充分必要条件为:奇数阶主子式为负,而偶数阶主子式为正,即
(−1)r[a11⋯a1n⋮⋮an1⋯ann]>0(r=1,2,⋯ ,n)(-1)^rbegin{bmatrix} a_{11} & cdots & a_{1n} \ vdots & & vdots \ a_{n1}& cdots & a_{nn} end{bmatrix} > 0 quad (r=1,2,cdots,n)

主子式:矩阵对应行列式沿主对角线上的 nn 阶子式。

有时候矩阵的特征值比较难求,这时候就可以用赫尔维茨定理

:若二次型 f=x12+2×22+5×32+8×42+6x52f=x_1^2+2x_2^2+5x_3^2+8x_4^2+6x_5^2

易得矩阵 A=[12586]A=begin{bmatrix} 1 & & & & \ & 2 & & & \ && 5 && \ &&& 8 & \ &&&& 6 end{bmatrix}

其中 ∣1∣,∣1002∣,∣100020005∣,∣1000020000050080∣,∣1000002000005000000800006∣begin{vmatrix} 1 end{vmatrix}, begin{vmatrix} 1 & 0 \ 0 & 2 end{vmatrix}, begin{vmatrix} 1 & 0 &0 \ 0 & 2 & 0 \ 0 & 0 & 5 end{vmatrix}, begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 2 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 5 \ 0 & 0 & 8 & 0end{vmatrix}, begin{vmatrix} 1 & 0 &0 & 0 &0 \ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 5 & 0 & 0\ 0 & 0&0&0&8\0&0&0&0&6 end{vmatrix} 都大于0,因此该二次型为正定二次型。负定二次型同理

:判定二次型 f=−5×2−6y2−4z2+4xy+4xzf=-5x^2-6y^2-4z^2+4xy+4xz 的正定性

易得该二次型对应的矩阵表达式:f=[xyz][−5222−6020−4][xyz]f=begin{bmatrix} x & y & z end{bmatrix}begin{bmatrix} -5 & 2 & 2 \ 2 & -6 & 0 \ 2 & 0 & -4 end{bmatrix}begin{bmatrix} x \ y \ z end{bmatrix}

其中 A=[−5222−6020−4]A = begin{bmatrix} -5 & 2 & 2 \ 2 & -6 & 0 \ 2 & 0 & -4 end{bmatrix}

  • 一阶主子式:−5<0-5 < 0

  • 二阶主子式:[−522−6]=26>0begin{bmatrix} -5 & 2 \ 2 & -6 end{bmatrix}=26>0

  • 三阶主子式:[−5222−6020−4]=−80<0begin{bmatrix} -5 & 2 & 2 \ 2 &-6 & 0 \ 2 & 0 & -4 end{bmatrix}=-80 < 0

由赫尔维茨定理易得,该二次型负定

:设 f=x12+x22+5×32+2ax1x2−2x1x3+4x2x3f=x_1^2+x_2^2+5x_3^2+2ax_1x_2-2x_1x_3+4x_2x_3 为正定二次型,求 aa 的取值范围

对于这种题最合适的方法就是赫尔维茨定理,因为带着参数值去求特征值是比较麻烦的

该二次型对应矩阵表达式为:f=[x1x2x3][1a−1a12−125][x1x2x3]f=begin{bmatrix} x_1 & x_2 & x_3 end{bmatrix} begin{bmatrix} 1 & a & -1 \ a & 1 & 2 \ -1 & 2 & 5 end{bmatrix}begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 end{bmatrix}

由该二次型为正定二次型得:

  • 一阶主子式:1>01 > 0
  • 二阶主子式:[1aa1]=1−a2>0begin{bmatrix} 1 & a \ a & 1 end{bmatrix} = 1-a^2 > 0
  • 三阶主子式:∣A∣=−a(4+5a)>0|A|=-a(4+5a) > 0

即:{1−a2>0−a(4+5a)>0begin{cases} 1-a^2 > 0 \ -a(4+5a) > 0 end{cases},解得 −45<a<0-frac{4}{5}<a<0

第二个式子是一个抛物线(二次函数),可以很容易得到x轴上的两个点以及其开口向下

矩阵合同

回顾前面讲的矩阵合同和合同变换的知识:设 A,BA,Bnn 阶矩阵,若存在可逆矩阵 CC,使得 B=CTACB=C^TAC,则称 AABB 合同,记作 . ,这种对矩阵 AA 的运算被称为合同变换。

根据上面的惯性定理,两矩阵合同就等价于两矩阵的正惯性指数、负惯性指数、二次型的秩都相同。

  • 即充要条件:矩阵 A,BA,B 合同 ↔p,q,rleftrightarrow p,q,r 相同

pp:正惯性指数,qq:负惯性指数,rr:二次型的秩

f=xTAx=yTByf=x^TAx = y^TBy,这里矩阵 A,BA,B 的关系就是合同,而将一个二次型化为一个标准型时会保持一个惯性,可以理解成,合同变换就是基于 p,q,rp,q,r 不发生改变而完成的变换,后者是前者的充要条件。

例:设矩阵 A=[002010200],B==[10001000−1]A=begin{bmatrix} 0&0&2\0&1&0\2&0&0end{bmatrix},B==begin{bmatrix} 1&0&0\0&1&0\0&0&-1end{bmatrix},则两矩阵是否相似?是否合同?

  • 对于矩阵 AA:由 ∣A−λE∣=0|A-lambda E|=0 得特征值为 1,2,-2;易得 p=2,q=1,r=3p=2, q=1, r=3
  • 对于矩阵 BB:同理得特征值为 1,1,-1;易得 p=2,q=1,r=3p=2,q=1,r=3

因此矩阵 A,BA,B 合同但不相似。

特征值相同是矩阵相似的必要条件,而合同则是要看这两个矩阵的 p,q,rp,q,r是否相同

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