文章内容

• 二次型及其标准型
• 配方法
• 正/负定二次型

二次型及其标准型

什么是二次型和其标准型

定义：数域K上的一个n元二次型是系数在K中的n个变量的二次齐次多项式

一般形式：$f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)=(a_{11}{x}_1^2+2a_{12}{x}_1{x}_2+2a_{13}{x}_1{x}_3+\cdots +2a_{1n}{x}_1{x}_n)+(a_{22}{x}_1^2+2a_{23}{x}_2{x}_3+\cdots +2a_{2n}{x}_2{x}_n)+\cdots +a_{nn}{x}_n^2$

观察易得，这个式子里面未知数仅由 $x_i^2$ 和 $x_i{x}_j$ 组成

对于一个二次型 $a{x}^2+bxy+c{y}^2=1$，这个式子的几何意义是一个歪了的椭圆或者双曲线或者其它图形，例如一个椭圆，我们的目的是将这个椭圆的中心点回到坐标原点，让轴水平和竖直，也就是进行一个变换操作，将椭圆标准化，准确地说就是将原来的方程变换为标准方程，对应的标准方程就是这个二次型的标准型。

$$a{x}^2+bxy+c{y}^2=1\to m{x}^{\prime 2}+n{y}^{\prime 2}=1$$

• 椭圆标准方程：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$
• 双曲线标准方程：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$

对于上边二次型的一般形式，可以用矩阵的形式来表达：

$f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)=\left[\begin{array}{cccc}{x}_1& x_2& \cdots & x_n\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ \cdots \\ x_n\end{array}\right]$

令 $x={\left[\begin{array}{cccc}{x}_1& x_2& \cdots & x_n\end{array}\right]}^T，A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right]$，则 $f=x^{T}Ax$，其中 $A$ 是对称矩阵，这里被称为二次型的矩阵

• 任意一个二次型和它的实对称矩阵是一一对应的
• 实对称矩阵 $A$ 的秩就是二次型 $f$ 的秩

当把一个二次型写成矩阵表达式时，矩阵 $A$ 一定是一个对称矩阵；但当把一个矩阵表达式写成二次型时，即使矩阵 $A$ 不是对称矩阵，展开后仍然是一个二次型。

原因：自己展开尝试一下就理解了，二次型中每个含两个未知数的积的系数都是$a$的2倍，因此相应对称矩阵 $A$ 中的对应值就是 $a$，当将矩阵表达式转换为二次型时，是在对应位置的参数相加，而当二次型转换为矩阵表达式时，则是对当前系数除以二作为相应矩阵的对应值。

例：写出二次型 $f(x,y,z)=x^2-3z^2-4xy+yz$ 的实对称矩阵以及矩阵表达式

矩阵表达式：$f(x,y,z)=\left[\begin{array}{ccc}x& y& z\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& -2& 0\\ -2& 0& \frac{1}{2}\\ 0& \frac{1}{2}& \frac{3}{2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]$

对于这里的实对称矩阵 $A$ 中对应系数的位置，可以想象成这样一个表格：

	x	y	z
x	$x^2$的系数	$xy$的系数	$xz$的系数
y	$xy$的系数	$y^2$的系数	$yz$的系数
z	$xz$的系数	$yz$的系数	$z^2$的系数

根据二次型中 $x^2,y^2,z^2$ 的系数和 $xy,xz,yz$ 的系数来写矩阵即可

合同变换

例如一个二次型的矩阵表达式：
$f=\left[\begin{array}{ccc}{x}_1& x_2& x_3\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{c}_{11}& c_{12}& c_{13}\\ c_{21}& c_{22}& c_{23}\\ c_{31}& c_{32}& c_{33}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]$

我们对其中的三个元素 $x_1,x_2,x_3$ 做线性变换，即：
$\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{c}_{11}& c_{12}& c_{13}\\ c_{21}& c_{22}& c_{23}\\ c_{31}& c_{32}& c_{33}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ y_3\end{array}\right]$

则有：$f(x)=x^{T}Ax=(Cy{)}^{T}A(Cy)=y^T{C}^{T}ACy=y^T(C^{T}AC)y=y^{T}By$，这里 $B=C^{T}AC$

设 $A,B$ 为 $n$ 阶矩阵，如果存在可逆矩阵 $C$，使得 $B=C^{T}AC$，则称 $A$ 与 $B$ 合同，记作 . ，这种对 $A$ 的运算被称为合同变换。

注意这里不要与相似变换混淆的概念，相似变换是 $B=P^{-1}AP$，相似变换是在不同基的同一矩阵进行变换，而合同变换则表示二次型到标准型的变换

将二次型转换为标准型

要想将其化为标准型，我们需要将所有的$x_i{x}_j$的系数变为0，不难想到，当矩阵 $A$ 除正对角线以外的元素都为0时，所有 $x_i{x}_j$ 的系数也就为0了。

对于合同变换，可以看到，矩阵 $B$ 与矩阵 $C$ 和矩阵 $A$ 相关，而向量 $y$ 与向量 $x$ 和矩阵 $C$ 相关，我们不关心向量y是什么样的，在新的式子中，我们要通过矩阵 $C$ 将矩阵 $A$ 的除正对角线以外的所有元素都变换为0，得到这样一个矩阵 $B$，最后也就得到了二次型对应的标准型。

定理：对于任一个 n 元二次型 $f(x)=x^{T}Ax$，存在正交变换 $x=Qy$ ($Q$ 为 n 阶正交矩阵)，使得 $x^{T}Ax=y^T(Q^{T}AQ)y={\lambda }_1{y}_1^2+{\lambda }_2{y}_2^2+\cdots +{\lambda }_n{y}_n^2$。其中 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$ 是实对称矩阵 $A$ 的 n 个特征值，$Q$ 的 n 个列向量 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 是 $A$ 对应于特征值 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$ 的标准正交特征向量.

• 任一实对称矩阵都与一个对角阵合同
• 用正交变换化二次型为标准型，具有保持几何形状不变的优点

这里的 $x$ 是二次型中的未知数，$y$ 是该二次型对应的标准型中的未知数

在对称矩阵的相似对角化中讲过，任何一个对称矩阵，都可以通过一个正交变换变为一个对角阵，这是实对称矩阵的特点。即：$n$ 阶实对称矩阵 $A$ 必可相似对角化，且总存在正交矩阵 $Q$，使得 $Q^{T}AQ=diag(\lambda 1,\lambda 2,\cdots ,\lambda n)$，其中 $\lambda 1,\lambda 2,\cdots ,\lambda n{\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$ 是矩阵 $A$ 的特征值.

即：$Q^{-1}AQ=Q^{T}AQ=\Lambda =\left[\begin{array}{cccc}{\lambda }_1& & & \\ & {\lambda }_2& & \\ & & \cdots & \\ & & & {\lambda }_n\end{array}\right]$

当我们通过 $B=Q^{T}AQ=\Lambda$，即矩阵 $B$ 变为一个对角阵，对角阵中除正对角线以外其它位置的值都为0，最后 $y^{T}By$当然只剩下平方项了。

正交矩阵中每一个向量都满足和其本身内积为1，和其它向量内积为0，且正交矩阵的转置和其逆矩阵相同。

从中也可以看出，这里这个合同变换的方法本质上就是相似变换，不过这里的相似变换是由正交变换构成的。

参考相似对角化的概念，这里就是矩阵 $A$ 和一个对角阵 $\Lambda$ 相似，性质当然也相同：

• 对角阵 $\Lambda$ 的值是矩阵 $A$ 的特征值
• 矩阵 $Q$ 中的列向量为矩阵 $A$ 的特征向量

同时，在这里因为矩阵 $Q$ 是正交矩阵，因此矩阵 $A$ 中的特征向量相互正交，即其中的每一个向量都满足和其本身内积为1，和其它向量内积为0。

此外，由于对角阵中的元素为矩阵 $A$ 对应的特征值，因此对于一个二次型对应的标准型，该标准型中未知数的系数就是矩阵 $A$ 对应的特征值。

二次型变换为标准型的本质

先联想一下相似变换的本质，相似变换就是从一个基到另一个基，但原本图形形状不做改变的过程，仅仅是同一图形在不同基下的表达形式而已。因此，对于二次型标准化的本质也就清楚了，所谓二次型标准化，本质上就是基的改变，通过定义一个新的基，使得原图形在新的基下是标准形式，然后再通过相似变换将原图形映射过去即可。

我们之前讲过线性空间中的基是什么，参考上图，这里再通俗点讲，就是构建了一个新的坐标系，使得图形在新的坐标系下的方程是标准方程。

规范型：在标准型中，若平方项的系数为1或-1或0，则称其为二次型的规范型。

例：某二次型的标准型为 $8y_1^2+\frac{1}{2}{y}_2^2-9y_3^2=1$

则有：$(2\sqrt{2}{y}_1{)}^2+(\frac{1}{\sqrt{2}}{y}_2{)}^2-(3y_3{)}^2=z_1^2+z_2^2+z_3^2=1$

$z_1^2+z_2^2+z_3^2=1$ 这种形式就是规范型，但注意它对于原来的图形在形状上已经伸缩变换了。

例：求一个正交变换 $x=Py$，把二次型 $f=-2x_1{x}_2+2x_1{x}_3+2x_2{x}_3$ 化为标准型

想将二次型化为标准型，其实就是求我们上述所讲的矩阵 $P$ 和矩阵 $\Lambda$，由于矩阵 $P$ 中的列向量就是矩阵 $A$ 的特征向量，而矩阵 $\Lambda$ 中的值则为矩阵 $A$ 的特征值，因此我们首先要求出来矩阵 $A$ 的特征向量和特征值。

易得该二次型对应的矩阵表达式为：

$f(x)=\left[\begin{array}{ccc}{x}_1& x_2& x_3\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}0& -1& 1\\ -1& 0& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]$

要想化为标准型，我们首先要找到矩阵 $A$ 对应的对角阵 $\Lambda$，也就是也行哦爱你找到矩阵 $A$ 对应的特征值。

因 $(A-\lambda E)x=0$，由 $(A-\lambda E)=0$ 得有：

$$\begin{array}{rl}|A-\lambda E|& =\left|\begin{array}{ccc}-\lambda & -1& 1\\ -1& -\lambda & 1\\ 1& 1& -\lambda \end{array}\right|\\ & \sim \left|\begin{array}{ccc}-1-\lambda & -1& 1\\ 0& 1-\lambda & 0\\ 2& 1& -\lambda \end{array}\right|\\ & =(1-\lambda )(-1{)}^{2+2}\left|\begin{array}{cc}-1-\lambda & 1\\ 2& -\lambda \end{array}\right|\\ & =(1-\lambda )(\lambda +2)(\lambda -1)\end{array}$$

即：$\{\begin{array}{l}{\lambda }_1=-2\\ {\lambda }_2={\lambda }_3=1\end{array}$

当 ${\lambda }_1=-2$ 时，$A-{\lambda }_{1}E=\left[\begin{array}{ccc}2& -1& 1\\ -1& 2& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right]\sim \left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$

新的齐次方程组为：$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_3=0\\ x_2+x_3=0\end{array}$

自由变量个数为 $n-R(A-\lambda E)=1$，主元为$x_1,x_2$，自由变量为 $x_3$

易得基础解系：$\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ 1\end{array}\right]$

代入易得，特征向量 ${\xi }_1=\left[\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 1\end{array}\right]$

对于一般做法，我们这是会同理得 特征向量 ${\xi }_2=\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\end{array}\right],{\xi }_3=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right]$，同时观察到 ${\xi }_1$ 和 ${\xi }_2$ 正交，但是由于这里的特征向量是正交矩阵中的列向量，因此特征向量 ${\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3$ 之间两两正交，而这时如果我们这样求出来 ${\xi }_2$ 和 ${\xi }_3$ 的话，紧接着要使用施密特正交法进行处理，增大了计算量，因此当我们求出 ${\xi }_1$ 和 ${\xi }_2$ 时，参考正交矩阵两两正交的性质来求出特征向量 ${\xi }_3$，而不使用一般的方法建立基础解系来求 ${\xi }_3$。

同理得特征向量 ${\xi }_2=\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\end{array}\right]$

由于 ${\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3$ 之间两两正交，则易得 ${\xi }_3=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\end{array}\right]$

将特征向量单位化后得：$p_1=\frac{1}{\sqrt{3}}\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\end{array}\right],p_2=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\end{array}\right],p_3=\frac{1}{6}\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\end{array}\right]$

则正交矩阵 $P=\left[\begin{array}{ccc}{p}_1& p_2& p_3\end{array}\right]$

易得该二次型对应的标准型：$f(y)=-2y_1^2+y_2^2+y_3^2$

总结：这里二次型转标准型的计算过程基本和前一章节的求法相同，主要是求特征值和特征向量，这两个求出来，结果自然也就出来了。

例：求椭圆 $x^2+4xy+5y^2=1$ 的面积

二次型转换为其标准型，图形形状不变，则图形对应面积也不变，因此我们可以先将不标准的椭圆标准化得到其标准型，然后再求面积即可。

易得该二次型的矩阵表达式：$f(x,y)=\left[\begin{array}{cc}x& y\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 5\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$，其中 $A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 5\end{array}\right]$

由 $(A-\lambda E)x=0$ 得 $|A-\lambda E|=\left|\begin{array}{cc}1-\lambda & 2\\ 2& 5-\lambda \end{array}\right|={\lambda }^2-6\lambda +1=0$

求根公式得 $\{\begin{array}{l}{\lambda }_1=\frac{6+4\sqrt{2}}{2}\\ {\lambda }_2=\frac{6-4\sqrt{2}}{2}\end{array}$

求根公式 (初中数学)：$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

特征值较复杂，对应的特征向量应该也比较复杂，因此这里紧接着先不算特征向量，因为对于这道题我们并没有必要去求正交矩阵。

假设特征向量为 ${\xi }_1,{\xi }_2$

则矩阵 $Q=\left[\begin{array}{cc}{\xi }_1& {\xi }_2\end{array}\right]$，$\Lambda =Q^{T}AQ=\left[\begin{array}{cc}{\lambda }_1& 0\\ 0& {\lambda }_2\end{array}\right]$

设标准型下 $x,y$ 对应的两个未知数分别为 $u,v$

则有 $\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=Q\left[\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right]$，则原式 $f={\lambda }_1{u}^2+{\lambda }_2{v}^2=1$

整理得：$\frac{u^2}{(\sqrt{\frac{1}{{\lambda }_1}}{)}^2}+\frac{v^2}{(\sqrt{\frac{1}{{\lambda }_2}}{)}^2}=1$

这里就是椭圆的标准公式：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

即 $a=\sqrt{\frac{1}{{\lambda }_1}},b=\sqrt{\frac{1}{{\lambda }_2}}$

由椭圆面积公式得：$S=\pi ab=\frac{\pi }{\sqrt{{\lambda }_1{\lambda }_2}}=\frac{\pi }{1}=\pi$

正交变换具有保形性，变化前后图形形状不会发生改变

配方法

配方法很简单，共分为两种情况，这里直接通过举例来进行说明。

1. 二次型中存在平方项则直接使用最简单粗暴的方法凑平方
2. 二次型中不存在平方项我们先变换一次得到第一种情况，再使用相同的方法凑平方

简而言之，无论哪种情况，我们的目的都是凑平方，消去非平方项，再将平方项从 $x$ 映射到 $y$ 即可。

配方法的第一种使用情况

三个主要步骤：

1. 式子配方成平方相加减的形式
2. 写过渡矩阵，并验证该过渡矩阵行列式不为0 (矩阵可逆)
3. 根据要求算出指定结果

例：化二次型 $f=x_1^2+2x_2^2+5x_3^2+2x_1{x}_2+2x_1{x}_3+6x_2{x}_3$ 成标准型，并求出所使用的变换矩阵。

$$\begin{array}{rl}f& =x_1^2+2x_2^2+5x_3^2+2x_1{x}_2+2x_1{x}_3+6x_2{x}_3\\ & =(x_1+x_2+x_3{)}^2+x_2^2+4x_3^2+4x_2{x}_3\\ & =(x_1+x_2+x_3{)}^2+(x_2+2x_3{)}^2\end{array}$$

到这里，已经求出来该二次型对应的标准型了，即：$f=y_1^2+y_2^2$，接下来求变换矩阵。

令 $\{\begin{array}{l}{y}_1=x_1+x_2+x_3\\ y_2=x_2+2x_3\\ y_3=x_3\end{array}$，则有 $\{\begin{array}{l}{x}_1=y_1-y_2+y_3\\ x_2=y_2-2y_3\\ x_3=y_3\end{array}$

注意这里尽管没有第三个项，$y_3$ 也不能为0，我们把式子配方成平方相加减的形式就是为了去掉所有的非平方项，剩下的这些平方项就是我们前面所说的 $x$ 对应的标准型下的变量 $y$，二次型中 $x$ 有三个，那 $y$ 也有三个，因此不能置为0，关于 $y$ 的值，一般指定为对应的 $x$ 的值，这样比较有利于计算。

由 $x=Qy$ 得，即 $\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{y}_1-y_2+y_3\\ y_2-2y_3\\ y_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{q}_{11}& q_{12}& q_{13}\\ q_{21}& q_{22}& q_{23}\\ q_{31}& q_{32}& q_{33}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ y_3\end{array}\right]$

易得变换矩阵 $Q=\left[\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 0& 1& -2\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$，且 $|Q|\ne 0$

ps：上下三角形矩阵一定可逆，因为对应行列式展开之后只有一种符号(全+或全-)

综上所述，对应标准型：$f=y_1^2+y_2^2$，变换矩阵：$Q=\left[\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 0& 1& -2\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

配方法的第二种使用情况

例：化二次型 $f=2x_1{x}_2+2x_1{x}_3-6x_2{x}_3$ 成规范型，并求出所使用的的变换矩阵。

思路：二次型中没有平方项，我们可以用平方差产生平方项

令 $\{\begin{array}{l}{x}_1=y_1+y_2\\ x_2=y_1-y_2\\ x_3=y_3\end{array}$

这里设置什么样的映射都可以，但需要保证使得计算简便，求出的过渡矩阵可逆。

则由 $\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]=C_1\left[\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ y_3\end{array}\right]$ 易得，$C_1=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 1& -1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$，$|C_1|\ne 0$

则有：

$$\begin{array}{rl}f& =2x_1{x}_2+2x_1{x}_3-6x_2{x}_3\\ & =2(y_1+y_2)(y_1-y_2)+2(y_1+y_2)y_3-6(y_1-y_2)y_3\\ & =2y_1^2-2y_2^2+2y_1{y}_3+2y_2{y}_3-6y_1{y}_3+6y_2{y}_3\\ & =2(y_1-y_3{)}^2-(2y_3^2+2y_2^2-8y_2{y}_3)\\ & =2(y_1-y_3{)}^2-2(y_2-2y_3{)}^2+6y_3^2\\ & =[\sqrt{2}(y_1-y_3){]}^2-[\sqrt{2}(y_2-2y_3){]}^2+[\sqrt{6}{y}_3{]}^2\end{array}$$

这里因为要求的不是标准型，而是标准型对应的规范型，因此将每项的系数都变换为1、-1、0的形式。

令 $\{\begin{array}{l}{z}_1=\sqrt{2}(y_1-y_3)\\ z_2=\sqrt{2}(y_2-2y_3)\\ z_3=\sqrt{6}{y}_3\end{array}$，则有：$\{\begin{array}{l}{y}_1=\frac{1}{\sqrt{2}}{z}_1+\frac{1}{\sqrt{6}}{z}_3\\ y_2=\frac{1}{\sqrt{2}}{z}_2+\frac{2}{\sqrt{6}}{z}_3\\ y_3=\frac{1}{\sqrt{6}}{z}_3\end{array}$

由 $\left[\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ y_3\end{array}\right]=C_2\left[\begin{array}{c}{z}_1\\ z_2\\ z_3\end{array}\right]$ 易得，$C_2=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt{2}}& 0& \frac{1}{\sqrt{6}}\\ 0& \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{2}{\sqrt{6}}\\ 0& 0& \frac{1}{\sqrt{6}}\end{array}\right]$，$|C_2|\ne 0$

由 $x=C_{1}y,y=C_{2}z$ 得，$x=C_1{C}_{2}z$

$C=C_1{C}_2=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 1& -1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt{2}}& 0& \frac{1}{\sqrt{6}}\\ 0& \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{2}{\sqrt{6}}\\ 0& 0& \frac{1}{\sqrt{6}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{3}{\sqrt{6}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{-1}{\sqrt{2}}& \frac{-1}{\sqrt{6}}\\ 0& 0& \frac{1}{\sqrt{6}}\end{array}\right]$，$|C|\ne 0$

综上所述，对应的标准型为 $f=z_1^2-z_2^2+z_3^2$，变换矩阵为 $\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{3}{\sqrt{6}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{-1}{\sqrt{2}}& \frac{-1}{\sqrt{6}}\\ 0& 0& \frac{1}{\sqrt{6}}\end{array}\right]$

总结

配方法相对更加简单，但配方法不具有保形性，也就是使用配方法进行变换后原图形可能伸缩或拉伸，如果要求求图形面积，就不能用配方法了，只能用正交变换的方法。

正/负 定二次型

惯性定理

定理 (惯性定理)：二次型的标准型显然不是唯一的，只是标准型中所含项数 (二次型的秩) 是确定的，不仅如此，在限定变换为实变换时，标准型中正系数或负系数的个数是不变的，也就是有：

• 设二次型 $f=x^{T}Ax$ 的秩为 $r$，且有两个可逆变换 $x=Cy$ 和 $x=Pz$
• 使：$f=k_1{y}_1^2+k_2{y}_2^2+\cdots +k_r{y}_r^2(k_i\ne 0)$
• 及：$f={\lambda }_1{z}_1^2+{\lambda }_2{z}_2^2+\cdots +{\lambda }_r{z}_r^2({\lambda }_i\ne 0)$
• 则：$k_1,k_2,\cdots ,k_r$ 中正数的个数与 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_r$ 中正数的个数相等

以一个三个未知数的二次型为例，令 $f(x,y,z)=1$，表示空间上的一个曲面，将该二次型化为标准型后有三种情况，当三个系数都为正数的话表示一个椭球；若三个系数中一负两正，则表示一个单叶双曲面；若三个系数中一正两负，则表示一个双叶双曲面。

二次型中所做的各种可逆变换的本质是将这个曲面进行平移、旋转、缩放等

图形位置变换的本质：这里所说将这个曲面(图形)进行移动并不标准，因为本质上是相似变换，也就是基在变换，但达到的效果和曲面(图形)进行移动是相同的。

图形被伸缩或拉伸的本质：新的基与原来的基相比某些方向的单位向量大小不同。

也就是说图形本身没有变化，但衡量它的标准变化了，因此在新的标准下它看起来位置变换了或者伸缩拉伸了，而新旧标准(基)对于我们来说只是换了套坐标系。

二次型化为标准型中使用正交变换的话图形是不变的，但使用其它方法形状可能会发生一定的改变，如伸缩、拉伸等，但是无论这个图形怎样伸缩，例如单叶双曲面再怎么伸缩也是单叶双曲面，不可能通过伸缩或拉伸变成一个椭球，而它的形状又是由二次型中的系数的正负来决定的，因此变换前后正系数和负系数的个数不变。

为什么被称为惯性定理：类似于惯性中物体拥有保持当前运动状态的性质，图形也拥有保持当前形状不变的特性，因此被称为惯性定理。

正惯性指数和负惯性指数

二次型的标准型中正系数的个数称为二次型的正惯性指数；负系数的个数称为福惯性指数。若二次型 $f$ 的正惯性指数为 $p$，秩为 $r$，则 $f$ 的规范型便可确定为：$f=y_1^2+\cdots +y_p^2-y_{p+1}^2-\cdots -y_r^2$

正惯性指数为 $p$，二次型的秩为 $r$，则负惯性指数就为 $r-p$

正/负定判断条件

定义：若二次型 $f=x^{T}Ax$ 对任何 $x\ne 0$ 都有 $f>0$，则称 $f$ 为正定二次型，正定二次型的矩阵 $A$ 为正定矩阵。例如 $f=x_1^2+2x_2^2+5x_3^2+8x_4^2+6x_5^2$ 就是一个正定二次型。

• 若 $A$ 正定，则 $A$ 一定可逆，$A^{-1}$ 和 $A^{\ast }$ 也一定正定

$A$ 为正定矩阵，则 $A$ 为对角阵且 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$ 全都大于0，由于 $|A|={\lambda }_1{\lambda }_2\cdots {\lambda }_n$，则 $|A|\ne 0$，因此矩阵 $A$ 一定可逆。

若 $A$ 的特征值为 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$，则 $A^{-1}$ 的特征值为 $\frac{1}{{\lambda }_1},\frac{1}{{\lambda }_2},\cdots ,\frac{1}{{\lambda }_n}$，因此当然 $A^{-1}$ 也正定。

由 $Ax=\lambda x$ 两边同乘 $A^{-1}$ 易得 $A^{-1}x=\frac{1}{\lambda }x$，则 $\frac{A^{\ast }}{|A|}x=\frac{1}{\lambda }x$，整理得 $A^{\ast }x=\frac{|A|}{\lambda }x$。可见若$A$ 的特征值为 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$，则$A^{\ast }$ 的特征值为 $\frac{|A|}{{\lambda }_1},\frac{|A|}{{\lambda }_2},\cdots ,\frac{|A|}{{\lambda }_n}$，已知 $|A|>0$，因此 $A^{\ast }$ 肯定也正定。

正定二次型判别法 (三个充要条件)：

1. $f$ 的标准型的 $n$ 个系数全为正
2. $f$ 的正惯性指数为 $n$ ($f$ 的秩等于其正惯性指数)
3. $f$ 的矩阵 $A$ 的特征值全大于0

这三个条件其实都是等价的，不同说法而已

定义：若二次型 $f=x^{T}Ax$ 对任何 $x\ne 0$ 都有 $f<0$，则称 $f$ 为负定二次型，负定二次型的矩阵 $A$ 为负定矩阵。例如 $f=-x_1^2-2x_2^2-5x_3^2-8x_4^2-6x_5^2$ 就是一个负定二次型

负定二次型判别法 (三个充要条件)：

1. $f$ 的标准型的 $n$ 个系数全为负
2. $f$ 的负惯性指数为 $n$ ($f$ 的秩等于其负惯性指数)
3. $f$ 的矩阵 $A$ 的特征值全小于0

对于负定二次型，和正定二次型的概念基本相同，不过相反而已，就不再过多解释了。

赫尔维茨定理

定理 (赫尔维茨定理)：对称矩阵 $A$ 为正定的充分必要条件是：$A$ 的各阶主子式都为正，即 $a_{11}>0,\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right]>0,\cdots ,\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right]>0$。

对称矩阵 $A$ 为负定的充分必要条件为：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正，即
$(-1{)}^r\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right]>0(r=1,2,\cdots ,n)$。

主子式：矩阵对应行列式沿主对角线上的 $n$ 阶子式。

有时候矩阵的特征值比较难求，这时候就可以用赫尔维茨定理

如：若二次型 $f=x_1^2+2x_2^2+5x_3^2+8x_4^2+6x_5^2$

易得矩阵 $A=\left[\begin{array}{ccccc}1& & & & \\ & 2& & & \\ & & 5& & \\ & & & 8& \\ & & & & 6\end{array}\right]$

其中 $\left|\begin{array}{c}1\end{array}\right|,\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2\end{array}\right|,\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 5\end{array}\right|,\left|\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 2& 0& 0\\ 0& 0& 0& 5\\ 0& 0& 8& 0\end{array}\right|,\left|\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 2& 0& 0& 0\\ 0& 0& 5& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 8\\ 0& 0& 0& 0& 6\end{array}\right|$ 都大于0，因此该二次型为正定二次型。负定二次型同理

例：判定二次型 $f=-5x^2-6y^2-4z^2+4xy+4xz$ 的正定性

易得该二次型对应的矩阵表达式：$f=\left[\begin{array}{ccc}x& y& z\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}-5& 2& 2\\ 2& -6& 0\\ 2& 0& -4\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]$

其中 $A=\left[\begin{array}{ccc}-5& 2& 2\\ 2& -6& 0\\ 2& 0& -4\end{array}\right]$

• 一阶主子式：$-5<0$

• 二阶主子式：$\left[\begin{array}{cc}-5& 2\\ 2& -6\end{array}\right]=26>0$

• 三阶主子式：$\left[\begin{array}{ccc}-5& 2& 2\\ 2& -6& 0\\ 2& 0& -4\end{array}\right]=-80<0$

由赫尔维茨定理易得，该二次型负定

例：设 $f=x_1^2+x_2^2+5x_3^2+2a{x}_1{x}_2-2x_1{x}_3+4x_2{x}_3$ 为正定二次型，求 $a$ 的取值范围

对于这种题最合适的方法就是赫尔维茨定理，因为带着参数值去求特征值是比较麻烦的

该二次型对应矩阵表达式为：$f=\left[\begin{array}{ccc}{x}_1& x_2& x_3\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& a& -1\\ a& 1& 2\\ -1& 2& 5\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]$

由该二次型为正定二次型得：

• 一阶主子式：$1>0$
• 二阶主子式：$\left[\begin{array}{cc}1& a\\ a& 1\end{array}\right]=1-a^2>0$
• 三阶主子式：$|A|=-a(4+5a)>0$

即：$\{\begin{array}{l}1-a^2>0\\ -a(4+5a)>0\end{array}$，解得 $-\frac{4}{5}<a<0$

第二个式子是一个抛物线(二次函数),可以很容易得到x轴上的两个点以及其开口向下

矩阵合同

回顾前面讲的矩阵合同和合同变换的知识：设 $A,B$ 为 $n$ 阶矩阵，若存在可逆矩阵 $C$，使得 $B=C^{T}AC$，则称 $A$ 与 $B$ 合同，记作 . ，这种对矩阵 $A$ 的运算被称为合同变换。

根据上面的惯性定理，两矩阵合同就等价于两矩阵的正惯性指数、负惯性指数、二次型的秩都相同。

• 即充要条件：矩阵 $A,B$ 合同 $\leftrightarrow p,q,r$ 相同

$p$：正惯性指数，$q$：负惯性指数，$r$：二次型的秩

$f=x^{T}Ax=y^{T}By$，这里矩阵 $A,B$ 的关系就是合同，而将一个二次型化为一个标准型时会保持一个惯性，可以理解成，合同变换就是基于 $p,q,r$ 不发生改变而完成的变换，后者是前者的充要条件。

例：设矩阵 $A=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 2\\ 0& 1& 0\\ 2& 0& 0\end{array}\right],B==\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right]$，则两矩阵是否相似？是否合同？

• 对于矩阵 $A$：由 $|A-\lambda E|=0$ 得特征值为 1,2,-2；易得 $p=2,q=1,r=3$
• 对于矩阵 $B$：同理得特征值为 1,1,-1；易得 $p=2,q=1,r=3$

因此矩阵 $A,B$ 合同但不相似。

特征值相同是矩阵相似的必要条件，而合同则是要看这两个矩阵的 $p,q,r$是否相同