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陶哲轩Copilot:AI助手帮我完成了一页纸证明

释放双眼,带上耳机,听听看~!
陶哲轩疯狂安利Copilot,AI助手帮他完成了一页纸证明,提出了新的不等式变体,还展望大模型未来发展。

陶哲轩Copilot:AI助手帮我完成了一页纸证明
继给GPT-4“代言”之后,Copilot也被陶哲轩疯狂安利。

他直言,在编程时,Copilot能直接预测出他下一步要做什么。

有了Copilot之后,研究做起来也更方便了,陶哲轩也用它辅助自己完成了最新的研究成果。

陶哲轩Copilot:AI助手帮我完成了一页纸证明

陶哲轩说,这次的论文中,有关这一部分的内容其实只有一页。

但具体完成这一页纸的证明,他足足写了200多行代码,用的还是新学的编程语言Lean4。

陶哲轩Copilot:AI助手帮我完成了一页纸证明

而在陶哲轩公开代码的GitHub页面上显示,Copilot将写代码的速度提升了一半以上。

陶哲轩Copilot:AI助手帮我完成了一页纸证明

陶哲轩介绍,之所以选择Lean4是看中了它的“重写策略”,也就是对一长段表达式进行针对性的局部替换。

举个例子,假如定义了一个复杂的函数f(x),当我们想输入f(114514)的表达式时,直接用代码把x“重写”成114514就可以了。

陶哲轩说,这个特性相比于需要反复输入公式的LaTeX简直不要太方便。

那么陶哲轩这次的“一页纸证明”又给我们带来了什么新成果呢?

一页纸证明新不等式

这篇论文谈论了有关麦克劳林不等式的问题。

麦克劳林不等式是数学中一个经典的不等式,它基于“非负实数的算数平均值大于等于几何平均值”这一定律导出,可以表述为:

设y1…yn为非负实数,对k=1…n,定义均值Sk为(分母为分子的项数):

陶哲轩Copilot:AI助手帮我完成了一页纸证明

它作为具有根的 n 次多项式的归一化系数而出现。

陶哲轩Copilot:AI助手帮我完成了一页纸证明

(记住这个式子,我们称它为式1)

则麦克劳林不等式可以表示为:

陶哲轩Copilot:AI助手帮我完成了一页纸证明

其中,当且仅当所有yi相等时等号成立。

在微积分中,还有一个经典的牛顿不等式:

陶哲轩Copilot:AI助手帮我完成了一页纸证明

对任意1≤k<n,如果实变量y1…yn均为非负,牛顿不等式就可以简单地描述麦克劳林不等式了:

陶哲轩Copilot:AI助手帮我完成了一页纸证明

但如果不加上这个限制条件,即允许负数项的存在,用牛顿不等式就无法表示麦克劳林不等式了。

于是针对牛顿不等式中可能存在负数项的情况,陶哲轩提出了一组新的不等式变体:

对任意r>0且1≤ℓ≤n,必有式2或式3成立。

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这便是陶哲轩这一页纸所要证明的内容,具体证明过程是这样的:

不妨构建一个关于复杂变量z的多项式P(z):

陶哲轩Copilot:AI助手帮我完成了一页纸证明

由前面的式1和三角不等式可得:

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所以只需要建立下界:

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对P(z)取绝对值再取对数可得:

陶哲轩Copilot:AI助手帮我完成了一页纸证明

由于对任意实数t,t ↦ log(et+a)呈凸性且a>0,可以得到不等式:

陶哲轩Copilot:AI助手帮我完成了一页纸证明

当a=r2,t=2log yj时,可以得出:

陶哲轩Copilot:AI助手帮我完成了一页纸证明

以上就是陶哲轩给出的证明过程,但是,当归一化的|Sn|=1时,下式成立:

陶哲轩Copilot:AI助手帮我完成了一页纸证明

下一步:建立细化版本

除了这次提到的“一页纸证明”,陶哲轩的这篇论文中还提出了另一项新的定理,即对任意 1 ≤ k ≤ ℓ≤ n.:

陶哲轩Copilot:AI助手帮我完成了一页纸证明

在博客文章中,陶哲轩透露,他的下一步计划就是提出这一不等式的细化版本。

陶哲轩说,证明的过程“就像练习一样”会很简单,用微积分就能搞定。

不过,他也提到会有一个小困难,因为这部分论证过程使用到了渐进符号。

陶哲轩Copilot:AI助手帮我完成了一页纸证明

新的结论具体怎样,让我们拭目以待。

One More Thing

陶哲轩可谓是AI工具的忠实粉丝,Copilot、GPT-4,还有一些其他辅助工具都受到过他的推荐。

这次,他还对大模型的发展提出了新的期待,希望有一天模型可以直接生成不等式变体。

陶哲轩Copilot:AI助手帮我完成了一页纸证明

论文地址:
arxiv.org/abs/2310.05…

参考链接:
mathstodon.xyz/@tao/111271…

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